\(\int \frac {\sec ^4(c+d x) (A+B \sec (c+d x)+C \sec ^2(c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx\) [916]

Optimal result

Integrand size = 41, antiderivative size = 465 \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+B \sec (c+d x)+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\frac {\left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 b^5 d}-\frac {a \left (6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{5/2} b^5 (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))} \]

[Out]

1/2*(2*A*b^2-6*B*a*b+12*C*a^2+C*b^2)*arctanh(sin(d*x+c))/b^5/d-a*(6*A*b^6-6*a^5*b*B+15*a^3*b^3*B-12*a*b^5*B+a^
4*b^2*(2*A-29*C)-5*a^2*b^4*(A-4*C)+12*a^6*C)*arctanh((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/(a-b)^(5/2)/b
^5/(a+b)^(5/2)/d+1/2*(6*B*a^4*b-11*B*a^2*b^3+2*B*b^5-a^3*b^2*(2*A-21*C)+a*b^4*(5*A-6*C)-12*a^5*C)*tan(d*x+c)/b
^4/(a^2-b^2)^2/d-1/2*(3*B*a^3*b-6*B*a*b^3-a^2*b^2*(A-10*C)+b^4*(4*A-C)-6*a^4*C)*sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/b^3/(a^2
-b^2)^2/d-1/2*(A*b^2-a*(B*b-C*a))*sec(d*x+c)^3*tan(d*x+c)/b/(a^2-b^2)/d/(a+b*sec(d*x+c))^2+1/2*(3*A*b^4+a*(2*B
*a^2*b-5*B*b^3-4*C*a^3+7*C*a*b^2))*sec(d*x+c)^2*tan(d*x+c)/b^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*sec(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 5.15 (sec) , antiderivative size = 465, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 9, number of rules used = 8, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.195, Rules used = {4183, 4177, 4167, 4083, 3855, 3916, 2738, 214} \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+B \sec (c+d x)+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\frac {\left (12 a^2 C-6 a b B+2 A b^2+b^2 C\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 b^5 d}-\frac {\tan (c+d x) \sec ^3(c+d x) \left (A b^2-a (b B-a C)\right )}{2 b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\tan (c+d x) \sec ^2(c+d x) \left (a \left (-4 a^3 C+2 a^2 b B+7 a b^2 C-5 b^3 B\right )+3 A b^4\right )}{2 b^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\tan (c+d x) \sec (c+d x) \left (-6 a^4 C+3 a^3 b B-a^2 b^2 (A-10 C)-6 a b^3 B+b^4 (4 A-C)\right )}{2 b^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {\tan (c+d x) \left (-12 a^5 C+6 a^4 b B-a^3 b^2 (2 A-21 C)-11 a^2 b^3 B+a b^4 (5 A-6 C)+2 b^5 B\right )}{2 b^4 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {a \left (12 a^6 C-6 a^5 b B+a^4 b^2 (2 A-29 C)+15 a^3 b^3 B-5 a^2 b^4 (A-4 C)-12 a b^5 B+6 A b^6\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^5 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}} \]

[In]

Int[(Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^3,x]

[Out]

((2*A*b^2 - 6*a*b*B + 12*a^2*C + b^2*C)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*b^5*d) - (a*(6*A*b^6 - 6*a^5*b*B + 15*a^3*b^
3*B - 12*a*b^5*B + a^4*b^2*(2*A - 29*C) - 5*a^2*b^4*(A - 4*C) + 12*a^6*C)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2
])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) + ((6*a^4*b*B - 11*a^2*b^3*B + 2*b^5*B - a^3*b^2*(2*A - 2
1*C) + a*b^4*(5*A - 6*C) - 12*a^5*C)*Tan[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) - ((3*a^3*b*B - 6*a*b^3*B - a^2*b^2
*(A - 10*C) + b^4*(4*A - C) - 6*a^4*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 - a*(b*B -
a*C))*Sec[c + d*x]^3*Tan[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 + a*(2*a^2*b*B - 5*
b^3*B - 4*a^3*C + 7*a*b^2*C))*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))

Rule 214

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-a/b, 2]/a)*ArcTanh[x/Rt[-a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b},
x] && NegQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 3916

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Dist[1/b, Int[1/(1 + (a/b)*Si
n[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 4083

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x
_Symbol] :> Dist[B/b, Int[Csc[e + f*x], x], x] + Dist[(A*b - a*B)/b, Int[Csc[e + f*x]/(a + b*Csc[e + f*x]), x]
, x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0]

Rule 4167

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_
.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m
+ 2))), x] + Dist[1/(b*(m + 2)), Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*Simp[b*A*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*
B*(m + 2) - a*C)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 4177

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(
e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Csc[e + f*x]*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^
(m + 1)/(b*f*(m + 3))), x] + Dist[1/(b*(m + 3)), Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*Simp[a*C + b*(C*(m +
2) + A*(m + 3))*Csc[e + f*x] - (2*a*C - b*B*(m + 3))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C,
m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 4183

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*
(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(b*f*(a^2 - b^2)*(m + 1))), x] + Dist[d/(b*(a^2 - b^2)*
(m + 1)), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[A*b^2*(n - 1) - a*(b*B - a*C)*(n - 1)
+ b*(a*A - b*B + a*C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] - (b*(A*b - a*B)*(m + n + 1) + C*(a^2*n + b^2*(m + 1)))*Csc[e + f*
x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}-\frac {\int \frac {\sec ^3(c+d x) \left (3 \left (A b^2-a (b B-a C)\right )+2 b (b B-a (A+C)) \sec (c+d x)-2 \left (A b^2-a b B+2 a^2 C-b^2 C\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^2} \, dx}{2 b \left (a^2-b^2\right )} \\ & = -\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\int \frac {\sec ^2(c+d x) \left (2 \left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right )+b \left (a^2 b B+2 b^3 B+a^3 C-a b^2 (3 A+4 C)\right ) \sec (c+d x)-2 \left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\int \frac {\sec (c+d x) \left (-2 a \left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right )+2 b \left (a^3 b B-4 a b^3 B-2 a^4 C+b^4 (2 A+C)+a^2 b^2 (A+4 C)\right ) \sec (c+d x)+2 \left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{4 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\int \frac {\sec (c+d x) \left (-2 a b \left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right )+2 \left (a^2-b^2\right )^2 \left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) \sec (c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{4 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (a \left (6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right )\right ) \int \frac {\sec (c+d x)}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{2 b^5 \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {\left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) \int \sec (c+d x) \, dx}{2 b^5} \\ & = \frac {\left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 b^5 d}+\frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (a \left (6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right )\right ) \int \frac {1}{1+\frac {a \cos (c+d x)}{b}} \, dx}{2 b^6 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 b^5 d}+\frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (a \left (6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{1+\frac {a}{b}+\left (1-\frac {a}{b}\right ) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{b^6 \left (a^2-b^2\right )^2 d} \\ & = \frac {\left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 b^5 d}-\frac {a \left (2 a^4 A b^2-5 a^2 A b^4+6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+12 a^6 C-29 a^4 b^2 C+20 a^2 b^4 C\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{5/2} b^5 (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (6 a^4 b B-11 a^2 b^3 B+2 b^5 B-a^3 b^2 (2 A-21 C)+a b^4 (5 A-6 C)-12 a^5 C\right ) \tan (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (3 a^3 b B-6 a b^3 B-a^2 b^2 (A-10 C)+b^4 (4 A-C)-6 a^4 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4+a \left (2 a^2 b B-5 b^3 B-4 a^3 C+7 a b^2 C\right )\right ) \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (warning: unable to verify)

Time = 6.44 (sec) , antiderivative size = 725, normalized size of antiderivative = 1.56 \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+B \sec (c+d x)+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\frac {(b+a \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x) \left (A+B \sec (c+d x)+C \sec ^2(c+d x)\right ) \left (\frac {16 a \left (6 A b^6-6 a^5 b B+15 a^3 b^3 B-12 a b^5 B+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(-a+b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a^2-b^2}}\right ) \cos ^2(c+d x) (b+a \cos (c+d x))^2}{\left (a^2-b^2\right )^{5/2}}-8 \left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) (b+a \cos (c+d x))^2 \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+8 \left (2 A b^2-6 a b B+12 a^2 C+b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) (b+a \cos (c+d x))^2 \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+\frac {2 b \left (-6 a^4 A b^3+12 a^2 A b^5+18 a^5 b^2 B-32 a^3 b^4 B+8 a b^6 B-36 a^6 b C+68 a^4 b^3 C-30 a^2 b^5 C+4 b^7 C+\left (18 a^6 b B-25 a^4 b^3 B-10 a^2 b^5 B+8 b^7 B-36 a^7 C-16 a b^6 C+a^3 b^4 (15 A+14 C)+a^5 b^2 (-6 A+47 C)\right ) \cos (c+d x)-2 a b \left (-9 a^4 b B+16 a^2 b^3 B-4 b^5 B+a^3 b^2 (3 A-32 C)+18 a^5 C+a b^4 (-6 A+11 C)\right ) \cos (2 (c+d x))-2 a^5 A b^2 \cos (3 (c+d x))+5 a^3 A b^4 \cos (3 (c+d x))+6 a^6 b B \cos (3 (c+d x))-11 a^4 b^3 B \cos (3 (c+d x))+2 a^2 b^5 B \cos (3 (c+d x))-12 a^7 C \cos (3 (c+d x))+21 a^5 b^2 C \cos (3 (c+d x))-6 a^3 b^4 C \cos (3 (c+d x))\right ) \sin (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right )^2}\right )}{8 b^5 d (A+2 C+2 B \cos (c+d x)+A \cos (2 (c+d x))) (a+b \sec (c+d x))^3} \]

[In]

Integrate[(Sec[c + d*x]^4*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^3,x]

[Out]

((b + a*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3*(A + B*Sec[c + d*x] + C*Sec[c + d*x]^2)*((16*a*(6*A*b^6 - 6*a^5*b*B + 15*
a^3*b^3*B - 12*a*b^5*B + a^4*b^2*(2*A - 29*C) - 5*a^2*b^4*(A - 4*C) + 12*a^6*C)*ArcTanh[((-a + b)*Tan[(c + d*x
)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]]*Cos[c + d*x]^2*(b + a*Cos[c + d*x])^2)/(a^2 - b^2)^(5/2) - 8*(2*A*b^2 - 6*a*b*B + 12*a^
2*C + b^2*C)*Cos[c + d*x]^2*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Log[Cos[(c + d*x)/2] - Sin[(c + d*x)/2]] + 8*(2*A*b^2 - 6*a
*b*B + 12*a^2*C + b^2*C)*Cos[c + d*x]^2*(b + a*Cos[c + d*x])^2*Log[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2]] + (2*b
*(-6*a^4*A*b^3 + 12*a^2*A*b^5 + 18*a^5*b^2*B - 32*a^3*b^4*B + 8*a*b^6*B - 36*a^6*b*C + 68*a^4*b^3*C - 30*a^2*b
^5*C + 4*b^7*C + (18*a^6*b*B - 25*a^4*b^3*B - 10*a^2*b^5*B + 8*b^7*B - 36*a^7*C - 16*a*b^6*C + a^3*b^4*(15*A +
14*C) + a^5*b^2*(-6*A + 47*C))*Cos[c + d*x] - 2*a*b*(-9*a^4*b*B + 16*a^2*b^3*B - 4*b^5*B + a^3*b^2*(3*A - 32*
C) + 18*a^5*C + a*b^4*(-6*A + 11*C))*Cos[2*(c + d*x)] - 2*a^5*A*b^2*Cos[3*(c + d*x)] + 5*a^3*A*b^4*Cos[3*(c +
d*x)] + 6*a^6*b*B*Cos[3*(c + d*x)] - 11*a^4*b^3*B*Cos[3*(c + d*x)] + 2*a^2*b^5*B*Cos[3*(c + d*x)] - 12*a^7*C*C
os[3*(c + d*x)] + 21*a^5*b^2*C*Cos[3*(c + d*x)] - 6*a^3*b^4*C*Cos[3*(c + d*x)])*Sin[c + d*x])/(a^2 - b^2)^2))/
(8*b^5*d*(A + 2*C + 2*B*Cos[c + d*x] + A*Cos[2*(c + d*x)])*(a + b*Sec[c + d*x])^3)

Maple [A] (verified)

Time = 1.48 (sec) , antiderivative size = 554, normalized size of antiderivative = 1.19

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {2 a \left (\frac {\frac {\left (2 A \,a^{2} b^{2}-a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}-4 B \,a^{3} b +B \,a^{2} b^{2}+8 B a \,b^{3}+6 a^{4} C -a^{3} b C -10 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {b a \left (2 A \,a^{2} b^{2}+a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}-4 B \,a^{3} b -B \,a^{2} b^{2}+8 B a \,b^{3}+6 a^{4} C +a^{3} b C -10 C \,a^{2} b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{\left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} a -\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} b -a -b \right )^{2}}-\frac {\left (2 A \,a^{4} b^{2}-5 a^{2} A \,b^{4}+6 A \,b^{6}-6 a^{5} b B +15 a^{3} b^{3} B -12 a \,b^{5} B +12 a^{6} C -29 a^{4} b^{2} C +20 C \,a^{2} b^{4}\right ) \operatorname {arctanh}\left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}\right )}{b^{5}}+\frac {C}{2 b^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )^{2}}-\frac {2 B b -6 C a -C b}{2 b^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {\left (-2 A \,b^{2}+6 B a b -12 C \,a^{2}-C \,b^{2}\right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{2 b^{5}}-\frac {C}{2 b^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )^{2}}-\frac {2 B b -6 C a -C b}{2 b^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {\left (2 A \,b^{2}-6 B a b +12 C \,a^{2}+C \,b^{2}\right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{2 b^{5}}}{d}\)	\(554\)
default	\(\frac {\frac {2 a \left (\frac {\frac {\left (2 A \,a^{2} b^{2}-a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}-4 B \,a^{3} b +B \,a^{2} b^{2}+8 B a \,b^{3}+6 a^{4} C -a^{3} b C -10 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {b a \left (2 A \,a^{2} b^{2}+a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}-4 B \,a^{3} b -B \,a^{2} b^{2}+8 B a \,b^{3}+6 a^{4} C +a^{3} b C -10 C \,a^{2} b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{\left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} a -\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} b -a -b \right )^{2}}-\frac {\left (2 A \,a^{4} b^{2}-5 a^{2} A \,b^{4}+6 A \,b^{6}-6 a^{5} b B +15 a^{3} b^{3} B -12 a \,b^{5} B +12 a^{6} C -29 a^{4} b^{2} C +20 C \,a^{2} b^{4}\right ) \operatorname {arctanh}\left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}\right )}{b^{5}}+\frac {C}{2 b^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )^{2}}-\frac {2 B b -6 C a -C b}{2 b^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {\left (-2 A \,b^{2}+6 B a b -12 C \,a^{2}-C \,b^{2}\right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{2 b^{5}}-\frac {C}{2 b^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )^{2}}-\frac {2 B b -6 C a -C b}{2 b^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {\left (2 A \,b^{2}-6 B a b +12 C \,a^{2}+C \,b^{2}\right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{2 b^{5}}}{d}\)	\(554\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2997\)

[In]

int(sec(d*x+c)^4*(A+B*sec(d*x+c)+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(2*a/b^5*((1/2*(2*A*a^2*b^2-A*a*b^3-6*A*b^4-4*B*a^3*b+B*a^2*b^2+8*B*a*b^3+6*C*a^4-C*a^3*b-10*C*a^2*b^2)*a*
b/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-1/2*b*a*(2*A*a^2*b^2+A*a*b^3-6*A*b^4-4*B*a^3*b-B*a^2*b^2+8*B*a*b^
3+6*C*a^4+C*a^3*b-10*C*a^2*b^2)/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2
*b-a-b)^2-1/2*(2*A*a^4*b^2-5*A*a^2*b^4+6*A*b^6-6*B*a^5*b+15*B*a^3*b^3-12*B*a*b^5+12*C*a^6-29*C*a^4*b^2+20*C*a^
2*b^4)/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a+b)*(a-b))^(1/2)*arctanh((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a+b)*(a-b))^(1/2)))+1/2*C/b^
3/(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)^2-1/2*(2*B*b-6*C*a-C*b)/b^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)+1/2/b^5*(-2*A*b^2+6*B*a*b-12*C*a^2
-C*b^2)*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)-1/2*C/b^3/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)^2-1/2*(2*B*b-6*C*a-C*b)/b^4/(tan(1/2*d*x+1/2
*c)+1)+1/2*(2*A*b^2-6*B*a*b+12*C*a^2+C*b^2)/b^5*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1404 vs. \(2 (446) = 892\).

Time = 118.32 (sec) , antiderivative size = 2864, normalized size of antiderivative = 6.16 \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+B \sec (c+d x)+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(sec(d*x+c)^4*(A+B*sec(d*x+c)+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((12*C*a^9 - 6*B*a^8*b + (2*A - 29*C)*a^7*b^2 + 15*B*a^6*b^3 - 5*(A - 4*C)*a^5*b^4 - 12*B*a^4*b^5 + 6*A*
a^3*b^6)*cos(d*x + c)^4 + 2*(12*C*a^8*b - 6*B*a^7*b^2 + (2*A - 29*C)*a^6*b^3 + 15*B*a^5*b^4 - 5*(A - 4*C)*a^4*
b^5 - 12*B*a^3*b^6 + 6*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^3 + (12*C*a^7*b^2 - 6*B*a^6*b^3 + (2*A - 29*C)*a^5*b^4 + 15*B*a
^4*b^5 - 5*(A - 4*C)*a^3*b^6 - 12*B*a^2*b^7 + 6*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(a^2 - b^2)*log((2*a*b*cos(d*x +
c) - (a^2 - 2*b^2)*cos(d*x + c)^2 - 2*sqrt(a^2 - b^2)*(b*cos(d*x + c) + a)*sin(d*x + c) + 2*a^2 - b^2)/(a^2*co
s(d*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + b^2)) + ((12*C*a^10 - 6*B*a^9*b + (2*A - 35*C)*a^8*b^2 + 18*B*a^7*b^3 - 3*
(2*A - 11*C)*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 3*(2*A - 3*C)*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - (2*A + C)*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^4
+ 2*(12*C*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + (2*A - 35*C)*a^7*b^3 + 18*B*a^6*b^4 - 3*(2*A - 11*C)*a^5*b^5 - 18*B*a^4*b^6 +
3*(2*A - 3*C)*a^3*b^7 + 6*B*a^2*b^8 - (2*A + C)*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (12*C*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + (2*A - 3
5*C)*a^6*b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 3*(2*A - 11*C)*a^4*b^6 - 18*B*a^3*b^7 + 3*(2*A - 3*C)*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - (2*A
+ C)*b^10)*cos(d*x + c)^2)*log(sin(d*x + c) + 1) - ((12*C*a^10 - 6*B*a^9*b + (2*A - 35*C)*a^8*b^2 + 18*B*a^7*
b^3 - 3*(2*A - 11*C)*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 3*(2*A - 3*C)*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - (2*A + C)*a^2*b^8)*cos(d*x
+ c)^4 + 2*(12*C*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + (2*A - 35*C)*a^7*b^3 + 18*B*a^6*b^4 - 3*(2*A - 11*C)*a^5*b^5 - 18*B*a^
4*b^6 + 3*(2*A - 3*C)*a^3*b^7 + 6*B*a^2*b^8 - (2*A + C)*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (12*C*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 +
(2*A - 35*C)*a^6*b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 3*(2*A - 11*C)*a^4*b^6 - 18*B*a^3*b^7 + 3*(2*A - 3*C)*a^2*b^8 + 6*B*a*b^
9 - (2*A + C)*b^10)*cos(d*x + c)^2)*log(-sin(d*x + c) + 1) + 2*(C*a^6*b^4 - 3*C*a^4*b^6 + 3*C*a^2*b^8 - C*b^10
- (12*C*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + (2*A - 33*C)*a^7*b^3 + 17*B*a^6*b^4 - (7*A - 27*C)*a^5*b^5 - 13*B*a^4*b^6 + (5*
A - 6*C)*a^3*b^7 + 2*B*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^3 - (18*C*a^8*b^2 - 9*B*a^7*b^3 + (3*A - 50*C)*a^6*b^4 + 25*B*a^5
*b^5 - (9*A - 43*C)*a^4*b^6 - 20*B*a^3*b^7 + (6*A - 11*C)*a^2*b^8 + 4*B*a*b^9)*cos(d*x + c)^2 - 2*(2*C*a^7*b^3
- B*a^6*b^4 - 6*C*a^5*b^5 + 3*B*a^4*b^6 + 6*C*a^3*b^7 - 3*B*a^2*b^8 - 2*C*a*b^9 + B*b^10)*cos(d*x + c))*sin(d
*x + c))/((a^8*b^5 - 3*a^6*b^7 + 3*a^4*b^9 - a^2*b^11)*d*cos(d*x + c)^4 + 2*(a^7*b^6 - 3*a^5*b^8 + 3*a^3*b^10
- a*b^12)*d*cos(d*x + c)^3 + (a^6*b^7 - 3*a^4*b^9 + 3*a^2*b^11 - b^13)*d*cos(d*x + c)^2), -1/4*(2*((12*C*a^9 -
6*B*a^8*b + (2*A - 29*C)*a^7*b^2 + 15*B*a^6*b^3 - 5*(A - 4*C)*a^5*b^4 - 12*B*a^4*b^5 + 6*A*a^3*b^6)*cos(d*x +
c)^4 + 2*(12*C*a^8*b - 6*B*a^7*b^2 + (2*A - 29*C)*a^6*b^3 + 15*B*a^5*b^4 - 5*(A - 4*C)*a^4*b^5 - 12*B*a^3*b^6
+ 6*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^3 + (12*C*a^7*b^2 - 6*B*a^6*b^3 + (2*A - 29*C)*a^5*b^4 + 15*B*a^4*b^5 - 5*(A - 4*
C)*a^3*b^6 - 12*B*a^2*b^7 + 6*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(-a^2 + b^2)*arctan(-sqrt(-a^2 + b^2)*(b*cos(d*x +
c) + a)/((a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - ((12*C*a^10 - 6*B*a^9*b + (2*A - 35*C)*a^8*b^2 + 18*B*a^7*b^3 - 3*(2*A -
11*C)*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 3*(2*A - 3*C)*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - (2*A + C)*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^4 + 2*(1
2*C*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + (2*A - 35*C)*a^7*b^3 + 18*B*a^6*b^4 - 3*(2*A - 11*C)*a^5*b^5 - 18*B*a^4*b^6 + 3*(2*A
- 3*C)*a^3*b^7 + 6*B*a^2*b^8 - (2*A + C)*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (12*C*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + (2*A - 35*C)*a
^6*b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 3*(2*A - 11*C)*a^4*b^6 - 18*B*a^3*b^7 + 3*(2*A - 3*C)*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - (2*A + C)*
b^10)*cos(d*x + c)^2)*log(sin(d*x + c) + 1) + ((12*C*a^10 - 6*B*a^9*b + (2*A - 35*C)*a^8*b^2 + 18*B*a^7*b^3 -
3*(2*A - 11*C)*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 3*(2*A - 3*C)*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - (2*A + C)*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^
4 + 2*(12*C*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + (2*A - 35*C)*a^7*b^3 + 18*B*a^6*b^4 - 3*(2*A - 11*C)*a^5*b^5 - 18*B*a^4*b^6
+ 3*(2*A - 3*C)*a^3*b^7 + 6*B*a^2*b^8 - (2*A + C)*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (12*C*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + (2*A -
35*C)*a^6*b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 3*(2*A - 11*C)*a^4*b^6 - 18*B*a^3*b^7 + 3*(2*A - 3*C)*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - (2
*A + C)*b^10)*cos(d*x + c)^2)*log(-sin(d*x + c) + 1) - 2*(C*a^6*b^4 - 3*C*a^4*b^6 + 3*C*a^2*b^8 - C*b^10 - (12
*C*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + (2*A - 33*C)*a^7*b^3 + 17*B*a^6*b^4 - (7*A - 27*C)*a^5*b^5 - 13*B*a^4*b^6 + (5*A - 6*
C)*a^3*b^7 + 2*B*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^3 - (18*C*a^8*b^2 - 9*B*a^7*b^3 + (3*A - 50*C)*a^6*b^4 + 25*B*a^5*b^5 -
(9*A - 43*C)*a^4*b^6 - 20*B*a^3*b^7 + (6*A - 11*C)*a^2*b^8 + 4*B*a*b^9)*cos(d*x + c)^2 - 2*(2*C*a^7*b^3 - B*a
^6*b^4 - 6*C*a^5*b^5 + 3*B*a^4*b^6 + 6*C*a^3*b^7 - 3*B*a^2*b^8 - 2*C*a*b^9 + B*b^10)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c
))/((a^8*b^5 - 3*a^6*b^7 + 3*a^4*b^9 - a^2*b^11)*d*cos(d*x + c)^4 + 2*(a^7*b^6 - 3*a^5*b^8 + 3*a^3*b^10 - a*b^
12)*d*cos(d*x + c)^3 + (a^6*b^7 - 3*a^4*b^9 + 3*a^2*b^11 - b^13)*d*cos(d*x + c)^2)]

Sympy [F]

\[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+B \sec (c+d x)+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\int \frac {\left (A + B \sec {\left (c + d x \right )} + C \sec ^{2}{\left (c + d x \right )}\right ) \sec ^{4}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \sec {\left (c + d x \right )}\right )^{3}}\, dx \]

[In]

integrate(sec(d*x+c)**4*(A+B*sec(d*x+c)+C*sec(d*x+c)**2)/(a+b*sec(d*x+c))**3,x)

[Out]

Integral((A + B*sec(c + d*x) + C*sec(c + d*x)**2)*sec(c + d*x)**4/(a + b*sec(c + d*x))**3, x)

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+B \sec (c+d x)+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate(sec(d*x+c)^4*(A+B*sec(d*x+c)+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*a^2-4*b^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1740 vs. \(2 (446) = 892\).

Time = 0.44 (sec) , antiderivative size = 1740, normalized size of antiderivative = 3.74 \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+B \sec (c+d x)+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(sec(d*x+c)^4*(A+B*sec(d*x+c)+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2*(2*(12*C*a^7 - 6*B*a^6*b + 2*A*a^5*b^2 - 29*C*a^5*b^2 + 15*B*a^4*b^3 - 5*A*a^3*b^4 + 20*C*a^3*b^4 - 12*B*
a^2*b^5 + 6*A*a*b^6)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*t
an(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(-a^2 + b^2)))/((a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)*sqrt(-a^2 + b^2)) - 2*(12*C*a^7*tan(1/2*d
*x + 1/2*c)^7 - 6*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 2*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^7 + 9*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 17*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d
*x + 1/2*c)^7 + 9*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 33*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 5*A*a^3*b^4*tan(1/2
*d*x + 1/2*c)^7 - 16*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 6*A*a^2*b^5*tan(1
/2*d*x + 1/2*c)^7 + 2*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 13*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 4*B*a*b^6*tan(1
/2*d*x + 1/2*c)^7 + 4*C*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*B*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/
2*c)^7 - 36*C*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 18*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)
^5 - 6*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 9*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 67*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*
c)^5 + 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 35*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 29*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1
/2*c)^5 + 15*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 16*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 26*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^5 - 6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 10*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 5*C*a^2*b^5*tan(1/2*d
*x + 1/2*c)^5 - 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 4*C*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 2*B*b^7*tan(1/2*d*x + 1/
2*c)^5 + 3*C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*C*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 18*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3
+ 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 6*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 9*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3
- 67*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 35*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)
^3 - 29*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 15*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 16*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/
2*c)^3 + 26*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 10*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^3 + 5*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*C*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/
2*c)^3 + 2*B*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 3*C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 12*C*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*B
*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 2*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 9*B*a^5*b^2
*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 17*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 9*B*a^4*b^3*tan
(1/2*d*x + 1/2*c) + 33*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 5*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 16*B*a^3*b^4*tan(1/
2*d*x + 1/2*c) + 2*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 2*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c) - 13*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 4*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 4*C*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c
) + 2*B*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8)*(a*tan(1/2*d*x + 1
/2*c)^4 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 - 2*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^2) - (12*C*a^2 - 6*B*a*b + 2*A*b^2 +
C*b^2)*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 1))/b^5 + (12*C*a^2 - 6*B*a*b + 2*A*b^2 + C*b^2)*log(abs(tan(1/2*d*x + 1
/2*c) - 1))/b^5)/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 34.26 (sec) , antiderivative size = 15937, normalized size of antiderivative = 34.27 \[ \int \frac {\sec ^4(c+d x) \left (A+B \sec (c+d x)+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((A + B/cos(c + d*x) + C/cos(c + d*x)^2)/(cos(c + d*x)^4*(a + b/cos(c + d*x))^3),x)

[Out]

((tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(2*B*b^7 + 36*C*a^7 + 3*C*b^7 - 6*A*a^2*b^5 - 15*A*a^3*b^4 + 3*A*a^4*b^3 + 6*A*a^5*b^2
- 10*B*a^2*b^5 + 16*B*a^3*b^4 + 35*B*a^4*b^3 - 9*B*a^5*b^2 + 5*C*a^2*b^5 + 26*C*a^3*b^4 - 29*C*a^4*b^3 - 67*C*
a^5*b^2 - 4*B*a*b^6 - 18*B*a^6*b - 4*C*a*b^6 + 18*C*a^6*b))/((a + b)^2*(b^6 - 2*a*b^5 + a^2*b^4)) + (tan(c/2 +
(d*x)/2)^5*(3*C*b^7 - 36*C*a^7 - 2*B*b^7 - 6*A*a^2*b^5 + 15*A*a^3*b^4 + 3*A*a^4*b^3 - 6*A*a^5*b^2 + 10*B*a^2*
b^5 + 16*B*a^3*b^4 - 35*B*a^4*b^3 - 9*B*a^5*b^2 + 5*C*a^2*b^5 - 26*C*a^3*b^4 - 29*C*a^4*b^3 + 67*C*a^5*b^2 - 4
*B*a*b^6 + 18*B*a^6*b + 4*C*a*b^6 + 18*C*a^6*b))/((a + b)^2*(b^6 - 2*a*b^5 + a^2*b^4)) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^7
*(C*b^6 - 12*C*a^6 - 2*B*b^6 + 6*A*a^2*b^4 + A*a^3*b^3 - 2*A*a^4*b^2 + 4*B*a^2*b^4 - 12*B*a^3*b^3 - 3*B*a^4*b^
2 - 8*C*a^2*b^4 - 10*C*a^3*b^3 + 23*C*a^4*b^2 + 2*B*a*b^5 + 6*B*a^5*b + 5*C*a*b^5 + 6*C*a^5*b))/((a*b^4 - b^5)
*(a + b)^2) + (tan(c/2 + (d*x)/2)*(2*B*b^6 - 12*C*a^6 + C*b^6 + 6*A*a^2*b^4 - A*a^3*b^3 - 2*A*a^4*b^2 - 4*B*a^
2*b^4 - 12*B*a^3*b^3 + 3*B*a^4*b^2 - 8*C*a^2*b^4 + 10*C*a^3*b^3 + 23*C*a^4*b^2 + 2*B*a*b^5 + 6*B*a^5*b - 5*C*a
*b^5 - 6*C*a^5*b))/((a + b)*(b^6 - 2*a*b^5 + a^2*b^4)))/(d*(2*a*b + tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(6*a^2 - 2*b^2) - tan
(c/2 + (d*x)/2)^2*(4*a*b + 4*a^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(4*a*b - 4*a^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(a^2 - 2*a*b +
b^2) + a^2 + b^2)) + (atan(((((((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*
A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*
B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11
+ 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^
8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2
*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(6*C*a^2 + b^2*(A
+ C/2) - 3*B*a*b)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13
+ 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5
*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*a*b))/b^5 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 28
8*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*
A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*
b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^
7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12
- 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 -
1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*
A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a
^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11
*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*
b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^
12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*
b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^1
3 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))*(6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*a*b)*1i)/b^5 - (
((((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36
*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 1
92*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^1
8 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C
*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^1
5 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*a*b)*(8*a*b^19 -
8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 -
8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(
6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*a*b))/b^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*
a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9
+ 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2
*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*
a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^
4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^
10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 2
88*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318
*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*
C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*
C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*
C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*
B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 +
3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))*(6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*a*b)*1i)/b^5)/((8*(1728*C^3*a^15 + 24*A^3*a*b^
14 - 864*C^3*a^14*b + 48*A^3*a^2*b^13 - 68*A^3*a^3*b^12 - 52*A^3*a^4*b^11 + 72*A^3*a^5*b^10 + 26*A^3*a^6*b^9 -
36*A^3*a^7*b^8 - 4*A^3*a^8*b^7 + 8*A^3*a^9*b^6 - 432*B^3*a^4*b^11 - 432*B^3*a^5*b^10 + 1404*B^3*a^6*b^9 + 756
*B^3*a^7*b^8 - 1728*B^3*a^8*b^7 - 486*B^3*a^9*b^6 + 972*B^3*a^10*b^5 + 108*B^3*a^11*b^4 - 216*B^3*a^12*b^3 + 2
0*C^3*a^3*b^12 - 20*C^3*a^4*b^11 + 411*C^3*a^5*b^10 - 11*C^3*a^6*b^9 + 1314*C^3*a^7*b^8 + 2326*C^3*a^8*b^7 - 7
829*C^3*a^9*b^6 - 4770*C^3*a^10*b^5 + 11700*C^3*a^11*b^4 + 3456*C^3*a^12*b^3 - 7344*C^3*a^13*b^2 + 6*A*C^2*a*b
^14 + 24*A^2*C*a*b^14 - 2592*B*C^2*a^14*b + 504*A*B^2*a^3*b^12 + 648*A*B^2*a^4*b^11 - 1548*A*B^2*a^5*b^10 - 97
2*A*B^2*a^6*b^9 + 1800*A*B^2*a^7*b^8 + 558*A*B^2*a^8*b^7 - 972*A*B^2*a^9*b^6 - 108*A*B^2*a^10*b^5 + 216*A*B^2*
a^11*b^4 - 192*A^2*B*a^2*b^13 - 312*A^2*B*a^3*b^12 + 564*A^2*B*a^4*b^11 + 396*A^2*B*a^5*b^10 - 624*A^2*B*a^6*b
^9 - 210*A^2*B*a^7*b^8 + 324*A^2*B*a^8*b^7 + 36*A^2*B*a^9*b^6 - 72*A^2*B*a^10*b^5 - 6*A*C^2*a^2*b^13 + 207*A*C
^2*a^3*b^12 + 33*A*C^2*a^4*b^11 + 1158*A*C^2*a^5*b^10 + 1974*A*C^2*a^6*b^9 - 4977*A*C^2*a^7*b^8 - 3405*A*C^2*a
^8*b^7 + 6486*A*C^2*a^9*b^6 + 2088*A*C^2*a^10*b^5 - 3744*A*C^2*a^11*b^4 - 432*A*C^2*a^12*b^3 + 864*A*C^2*a^13*
b^2 + 12*A^2*C*a^2*b^13 + 300*A^2*C*a^3*b^12 + 552*A^2*C*a^4*b^11 - 1020*A^2*C*a^5*b^10 - 747*A^2*C*a^6*b^9 +
1188*A^2*C*a^7*b^8 + 408*A^2*C*a^8*b^7 - 636*A^2*C*a^9*b^6 - 72*A^2*C*a^10*b^5 + 144*A^2*C*a^11*b^4 - 12*B*C^2
*a^2*b^13 + 12*B*C^2*a^3*b^12 - 489*B*C^2*a^4*b^11 + 9*B*C^2*a^5*b^10 - 2892*B*C^2*a^6*b^9 - 3972*B*C^2*a^7*b^
8 + 13347*B*C^2*a^8*b^7 + 7767*B*C^2*a^9*b^6 - 18594*B*C^2*a^10*b^5 - 5400*B*C^2*a^11*b^4 + 11232*B*C^2*a^12*b
^3 + 1296*B*C^2*a^13*b^2 + 144*B^2*C*a^3*b^12 + 1980*B^2*C*a^5*b^10 + 2268*B^2*C*a^6*b^9 - 7524*B^2*C*a^7*b^8
- 4203*B^2*C*a^8*b^7 + 9828*B^2*C*a^9*b^6 + 2808*B^2*C*a^10*b^5 - 5724*B^2*C*a^11*b^4 - 648*B^2*C*a^12*b^3 + 1
296*B^2*C*a^13*b^2 - 120*A*B*C*a^2*b^13 - 24*A*B*C*a^3*b^12 - 1560*A*B*C*a^4*b^11 - 2268*A*B*C*a^5*b^10 + 5568
*A*B*C*a^6*b^9 + 3642*A*B*C*a^7*b^8 - 6840*A*B*C*a^8*b^7 - 2160*A*B*C*a^9*b^6 + 3816*A*B*C*a^10*b^5 + 432*A*B*
C*a^11*b^4 - 864*A*B*C*a^12*b^3))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^1
3 - a^7*b^12) + (((((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 -
8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*B*a^4*b^17 -
84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 + 28*C*a^2*b^
19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*
C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3
*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*
a*b)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^1
2 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b
^9 - a^7*b^8)))*(6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*a*b))/b^5 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 +
C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10
- 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*
a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a
^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3
*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*
b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 -
12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*
A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C
*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C
*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*
a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*
C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^1
2 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))*(6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*a*b))/b^5 + (((((4*(8*A*b^21
+ 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*
A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 +
48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^
17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*
C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 -
a^6*b^13 - a^7*b^12) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*a*b)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*
a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b
^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(6*C*a^2 + b^2*(A
+ C/2) - 3*B*a*b))/b^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a
*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8
+ 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B
^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^
2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2
*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^
2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b +
48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 1
92*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104
*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*
A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*
B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1
128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6
*b^9 - a^7*b^8))*(6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*a*b))/b^5))*(6*C*a^2 + b^2*(A + C/2) - 3*B*a*b)*2i)/(b^5*d) -
(a*atan(((a*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a
*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 +
57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*
a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a
^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4
*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^1
0*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 28
8*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*
A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C
*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C
*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C
*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B
*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3
*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) - (a*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 -
72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 -
156*B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b
^11 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*
C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3
*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*(
a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 -
12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a
^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7
- a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*((a + b)
^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b
^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(6*A*
b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5
*b)*1i)/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)) + (a*((a + b)^5*(a - b)^5)^(
1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13
*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 -
32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^
2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*
a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^
6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^
2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72
*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192
*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*
A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*
C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B
*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 2
88*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) + (a
*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*
A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 19
2*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18
- 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*
a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15
+ 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6
- 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*(8*a*b^19
- 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11
- 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*
b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C
*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(b
^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*
a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*1i)/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*
a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))/((8*(1728*C^3*a^15 + 24*A^3*a*b^14 - 864*C^3*a^14*b + 48*A^3*a
^2*b^13 - 68*A^3*a^3*b^12 - 52*A^3*a^4*b^11 + 72*A^3*a^5*b^10 + 26*A^3*a^6*b^9 - 36*A^3*a^7*b^8 - 4*A^3*a^8*b^
7 + 8*A^3*a^9*b^6 - 432*B^3*a^4*b^11 - 432*B^3*a^5*b^10 + 1404*B^3*a^6*b^9 + 756*B^3*a^7*b^8 - 1728*B^3*a^8*b^
7 - 486*B^3*a^9*b^6 + 972*B^3*a^10*b^5 + 108*B^3*a^11*b^4 - 216*B^3*a^12*b^3 + 20*C^3*a^3*b^12 - 20*C^3*a^4*b^
11 + 411*C^3*a^5*b^10 - 11*C^3*a^6*b^9 + 1314*C^3*a^7*b^8 + 2326*C^3*a^8*b^7 - 7829*C^3*a^9*b^6 - 4770*C^3*a^1
0*b^5 + 11700*C^3*a^11*b^4 + 3456*C^3*a^12*b^3 - 7344*C^3*a^13*b^2 + 6*A*C^2*a*b^14 + 24*A^2*C*a*b^14 - 2592*B
*C^2*a^14*b + 504*A*B^2*a^3*b^12 + 648*A*B^2*a^4*b^11 - 1548*A*B^2*a^5*b^10 - 972*A*B^2*a^6*b^9 + 1800*A*B^2*a
^7*b^8 + 558*A*B^2*a^8*b^7 - 972*A*B^2*a^9*b^6 - 108*A*B^2*a^10*b^5 + 216*A*B^2*a^11*b^4 - 192*A^2*B*a^2*b^13
- 312*A^2*B*a^3*b^12 + 564*A^2*B*a^4*b^11 + 396*A^2*B*a^5*b^10 - 624*A^2*B*a^6*b^9 - 210*A^2*B*a^7*b^8 + 324*A
^2*B*a^8*b^7 + 36*A^2*B*a^9*b^6 - 72*A^2*B*a^10*b^5 - 6*A*C^2*a^2*b^13 + 207*A*C^2*a^3*b^12 + 33*A*C^2*a^4*b^1
1 + 1158*A*C^2*a^5*b^10 + 1974*A*C^2*a^6*b^9 - 4977*A*C^2*a^7*b^8 - 3405*A*C^2*a^8*b^7 + 6486*A*C^2*a^9*b^6 +
2088*A*C^2*a^10*b^5 - 3744*A*C^2*a^11*b^4 - 432*A*C^2*a^12*b^3 + 864*A*C^2*a^13*b^2 + 12*A^2*C*a^2*b^13 + 300*
A^2*C*a^3*b^12 + 552*A^2*C*a^4*b^11 - 1020*A^2*C*a^5*b^10 - 747*A^2*C*a^6*b^9 + 1188*A^2*C*a^7*b^8 + 408*A^2*C
*a^8*b^7 - 636*A^2*C*a^9*b^6 - 72*A^2*C*a^10*b^5 + 144*A^2*C*a^11*b^4 - 12*B*C^2*a^2*b^13 + 12*B*C^2*a^3*b^12
- 489*B*C^2*a^4*b^11 + 9*B*C^2*a^5*b^10 - 2892*B*C^2*a^6*b^9 - 3972*B*C^2*a^7*b^8 + 13347*B*C^2*a^8*b^7 + 7767
*B*C^2*a^9*b^6 - 18594*B*C^2*a^10*b^5 - 5400*B*C^2*a^11*b^4 + 11232*B*C^2*a^12*b^3 + 1296*B*C^2*a^13*b^2 + 144
*B^2*C*a^3*b^12 + 1980*B^2*C*a^5*b^10 + 2268*B^2*C*a^6*b^9 - 7524*B^2*C*a^7*b^8 - 4203*B^2*C*a^8*b^7 + 9828*B^
2*C*a^9*b^6 + 2808*B^2*C*a^10*b^5 - 5724*B^2*C*a^11*b^4 - 648*B^2*C*a^12*b^3 + 1296*B^2*C*a^13*b^2 - 120*A*B*C
*a^2*b^13 - 24*A*B*C*a^3*b^12 - 1560*A*B*C*a^4*b^11 - 2268*A*B*C*a^5*b^10 + 5568*A*B*C*a^6*b^9 + 3642*A*B*C*a^
7*b^8 - 6840*A*B*C*a^8*b^7 - 2160*A*B*C*a^9*b^6 + 3816*A*B*C*a^10*b^5 + 432*A*B*C*a^11*b^4 - 864*A*B*C*a^12*b^
3))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (a*((a + b)^5*
(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 -
288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^
2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b
^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b
^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9
+ 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b
^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a
^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a
^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4
*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10
*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*
b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*
a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a
^7*b^8) - (a*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^
6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*B*a^4*b^17 - 84*B*a
^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 + 28*C*a^2*b^19 - 8
0*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*
b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16
+ 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^
6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b
)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 +
8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b
^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*
A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a
^5*b))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^
2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(b^15 - 5*a^2*b
^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)) + (a*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2
)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*
A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9
*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 36*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 + 36*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 - 288*B^2*a^6*b^
8 - 432*B^2*a^7*b^7 + 441*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 - 288*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 72*B^2*a^12*b^2
+ 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 -
827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 -
24*A*B*a*b^13 - 8*A*C*a*b^13 - 12*B*C*a*b^13 - 288*B*C*a^13*b + 48*A*B*a^2*b^12 - 72*A*B*a^3*b^11 - 192*A*B*a^
4*b^10 + 252*A*B*a^5*b^9 + 288*A*B*a^6*b^8 - 318*A*B*a^7*b^7 - 192*A*B*a^8*b^6 + 192*A*B*a^9*b^5 + 48*A*B*a^10
*b^4 - 48*A*B*a^11*b^3 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*
b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b
^2 + 24*B*C*a^2*b^12 - 108*B*C*a^3*b^11 + 192*B*C*a^4*b^10 - 72*B*C*a^5*b^9 - 1008*B*C*a^6*b^8 + 984*B*C*a^7*b
^7 + 1632*B*C*a^8*b^6 - 1650*B*C*a^9*b^5 - 1128*B*C*a^10*b^4 + 1128*B*C*a^11*b^3 + 288*B*C*a^12*b^2))/(a*b^14
+ b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) + (a*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21
- 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13
- 8*A*a^9*b^12 + 48*B*a^2*b^19 + 72*B*a^3*b^18 - 156*B*a^4*b^17 - 84*B*a^5*b^16 + 192*B*a^6*b^15 + 48*B*a^7*b^
14 - 108*B*a^8*b^13 - 12*B*a^9*b^12 + 24*B*a^10*b^11 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*
a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10
- 24*A*a*b^20 - 24*B*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 -
a^7*b^12) + (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b
^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17
+ 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5
*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*
b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a
^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*
b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3 + 2
0*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8
*b^7 - a^10*b^5))))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 15*B*a^3*b^3
+ 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2 - 12*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*1i)/(d*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9
+ 5*a^8*b^7 - a^10*b^5))